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Jaomamy Angelot
Jaomamy Angelot

Variable Compleja Polya Latta


Variable compleja: un libro clásico de George Pólya y Gordon Latta




La variable compleja es una rama de las matemáticas que estudia las funciones de una variable compleja, es decir, de la forma z = x + iy, donde x e y son números reales e i es la unidad imaginaria. Estas funciones tienen propiedades muy interesantes y útiles, como la derivabilidad, la integrabilidad, la representación en series de potencias y la transformación conforme.


Uno de los libros más famosos y reconocidos sobre este tema es el de George Pólya y Gordon Latta, titulado simplemente Variable compleja. Este libro fue publicado por primera vez en 1974 por la editorial Wiley, y desde entonces ha sido reeditado y traducido a varios idiomas, incluido el español. Se trata de un texto clásico que combina la rigorosidad matemática con la claridad expositiva y la pedagogía. El libro está dirigido a estudiantes de licenciatura y posgrado en matemáticas, física e ingeniería, así como a profesores e investigadores interesados en el tema.


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Estructura y contenido del libro




El libro de Pólya y Latta consta de diez capítulos, que abarcan los siguientes temas:



  • Capítulo 1: Números complejos. Se introduce el concepto de número complejo, su representación geométrica en el plano complejo, sus operaciones algebraicas y sus propiedades básicas.



  • Capítulo 2: Funciones complejas. Se define el concepto de función compleja, su dominio y su imagen, sus límites y su continuidad. Se estudian las funciones elementales, como las exponenciales, las trigonométricas, las logarítmicas y las potencias.



  • Capítulo 3: Derivada e integral. Se introduce el concepto de derivada de una función compleja, sus propiedades y sus aplicaciones. Se define el concepto de integral de una función compleja a lo largo de una curva, sus propiedades y sus aplicaciones.



  • Capítulo 4: Funciones analíticas. Se define el concepto de función analítica, que es aquella que es derivable en todo su dominio. Se estudian las propiedades de las funciones analíticas, como el teorema de Cauchy, el teorema de la integral de Cauchy, el teorema de Liouville, el teorema fundamental del álgebra y el principio del módulo máximo.



  • Capítulo 5: Series de potencias. Se define el concepto de serie de potencias, su radio y su intervalo de convergencia. Se estudian las propiedades de las series de potencias, como el teorema de Abel, el teorema de Taylor y el teorema de Laurent. Se introduce el concepto de singularidad aislada y se clasifican en polos, puntos singulares esenciales y puntos singulares removibles.



  • Capítulo 6: Residuos e integrales impropias. Se define el concepto de residuo, que es el coeficiente del término -1/z en la serie de Laurent. Se estudian las propiedades de los residuos, como el teorema del residuo, el teorema del argumento y el teorema del índice. Se aplican los residuos al cálculo de integrales impropias sobre curvas cerradas o sobre contornos infinitos.



  • Capítulo 7: Transformación conforme. Se define el concepto de transformación conforme, que es aquella que preserva los ángulos entre curvas. Se estudian las propiedades de las transformaciones conformes, como el teorema de Riemann, el teorema del mapeo conforme y el lema de Schwarz. Se presentan algunos ejemplos de transformaciones conformes, como las transformaciones lineales, las transformaciones de Möbius, las transformaciones de Joukowski y las transformaciones de Schwarz-Christoffel.



  • Capítulo 8: Funciones armónicas. Se define el concepto de función armónica, que es aquella que satisface la ecuación de Laplace. Se estudian las propiedades de las funciones armónicas, como el principio del módulo máximo, el principio de la media y el teorema de la representación conforme. Se presentan algunas aplicaciones de las funciones armónicas, como el problema de Dirichlet, el problema de Neumann y el problema de Robin.



  • Capítulo 9: Funciones enteras. Se define el concepto de función entera, que es aquella que es analítica en todo el plano complejo. Se estudian las propiedades de las funciones enteras, como el teorema de Picard, el teorema de Weierstrass, el teorema de Hadamard y el teorema de Mittag-Leffler. Se presentan algunos ejemplos de funciones enteras, como la función exponencial, la función seno, la función coseno y la función gamma.



  • Capítulo 10: Funciones meromorfas. Se define el concepto de función meromorfa, que es aquella que es analítica en todo el plano complejo salvo en un conjunto aislado de polos. Se estudian las propiedades de las funciones meromorfas, como el teorema del producto infinito, el teorema del factor cero y el teorema del factor polo. Se presentan algunos ejemplos de funciones meromorfas, como la función cotangente, la función cosecante y la función zeta.




Valoración y recomendación




El libro de Pólya y Latta es una obra maestra de la literatura matemática, que ha sido ampliamente utilizada y citada por generaciones de estudiantes y profesores. El libro destaca por su rigor, su claridad, su pedagogía y su elegancia. El libro contiene numerosos ejemplos, ejercicios, figuras y aplicaciones que ilustran y complementan los conceptos teóricos. El libro también contiene referencias históricas y biográficas que enriquecen la lectura y muestran la evolución y el contexto de la variable compleja.


El libro es recomendable para cualquier persona que quiera aprender o profundizar en la variable compleja, ya sea por motivos académicos o por interés personal. El libro requiere un nivel previo de cálculo diferencial e integral en una variable real, así como algunos conocimientos básicos de álgebra lineal y geometría analítica. El libro es adecuado para cursos universitarios de grado o posgrado en matemáticas, física e ingeniería, así como para autoestudio o consulta.


El libro se puede adquirir en formato impreso o digital en diversas plataformas online, como Amazon, Google Books o Archive.org. También se puede consultar en algunas bibliotecas públicas o universitarias.


En conclusión, el libro de Pólya y Latta es un clásico imprescindible para los amantes de la variable compleja y las matemáticas en general.


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